等ウエイトポートの分散

等ウエイトポートフォリオの分散について考える。

まず、ポートの分散は、wをウエイト、rをリターンとして以下の式であらわせる。

Ｖar(Port ) = Var ( w1*r1 + w2*r2 + w3*r3+・・・・)

                  = w1^2 * var(r1) + w2^2 * var(r2)＋・・・・+ 2*w1*w2*Cov(r1,r2) + 2*w1*w3*cov(r1,r3)＋・・・・

等ウエイトポートの場合、w = 1/ n  である。

代入すると、

Var(port) = (1/n)^2 * Σ (Var i ) + (2/n^2 )* Σ(Cov(i,j))

               = (1/n) * Avg(Var)  +  (2/n^2 )* (nC2 * Avg(Cov))

               = (1/n) * Avg(Var)  +  ((n-1)/n) *  Avg(Cov)

※Avg()は平均。n*Avg(Var)=Σ(Var i)である。

資産数nを増やせば増やすほど、第一項は０に近づき、第二項は Avg(Cov)に近づく。

つまり、ポート全体の分散が、 Avg(Cov)に近づく。

⇒資産(n)が増えるほど、共分散の平均と、ポート全体の分散がイコールになってゆく。